Xisipsilonzê é um jogo de três jogadores. Em cada partida o vencedor marca a pontos, o segundo colocado marca b pontos e o terceiro colocado marca c pontos, onde
são inteiros positivos. Certo dia, Marcos, Flavio e Ralph resolveram jogar Xisipsilonzê e, após algumas partidas, a soma dos pontos foi:
Marcos — 20
Flavio — 10
Ralph — 9
Sabe-se que Flavio venceu a segunda partida. Encontre quantos pontos cada um marcou em cada partida disputada.
Solução:
Não sabemos ao certo quantas partidas foram disputadas, mas sabemos que tanto o número de partidas quanto a soma das pontuações é ímpar, uma vez que o total de pontos obtidos pelos três jogadores é ímpar.
Assim, sendo n o número de partidas jogadas, temos que:
Sabemos a partir disso que a soma das pontuações em cada partida deve ser um número divisor de 39, pois n é inteiro:
Por exclusão, não podemos ter a soma igual a 1 ou igual a 3, pois todos os números são inteiros positivos. Ainda por exclusão, não podemos ter a soma igual a 39, pois assim só teria havido uma única partida e Flavio não poderia ter ganhado a segunda, o que sabemos de acordo com o enunciado.
Portanto o número de partidas jogadas foi 3.
Assim, basta agora bucarmos três números de soma 13, com algumas restrições:
Como Flavio ganhou a segunda partida e fez 10 pontos, o valor mínimo que podemos atribuir a c é igual a 1 e o valor máximo que podemos atribuir para a é igual a 8.
Além disso o valor mínimo para a é igual a 6, pois a soma total é 13.
Usando esta observação temos as seguintes possibilidades de pontuação:
Passemos então à análise de cada uma:
— Note que a opção 5) está fora de cogitação, pois mesmo que o ganhador vencesse as três partidas não chegaria a 20 pontos.
— A opção 4) também está fora, pois Ralph ganhou a 2ª partida e mesmo que ficasse em 3º nas outras duas faria 11 pontos;
— As opções 3) e 2) estão fora porque não há maneira em ambas de Ralph fazer 10 pontos, uma vez que ele ganhou a 2ª partida.
Portanto, só a opção 1) está correta de acordo com os seguintes resultados em cada partida:
Jogador | P1 | P2 | P3 | Total |
Marcos | 8 | 4 | 8 | 20 |
Flavio | 1 | 8 | 1 | 10 |
Ralph | 4 | 1 | 4 | 9 |